混沌Logistic加密

Logistic映射方程

方程形式如下：

Xn+1=μ∗Xn∗(1−Xn)μ∈[0,4], Xn∈(0,1), n=0,1,⋯ ,kX_{n+1}=\mu*X_n*(1-X_n)\\ \mu\in[0,4],\ X_n\in(0,1),\ n=0,1,\cdots,k

上式中，μ\mu 称为分支参数，该函数映射并不一定处于混沌状态，这与分支参数的取值有关，研究表明只有当 3.5699456<μ≤43.5699456<\mu\leq4 时，Logistic映射才具有混沌性质。

首先我们给定一个初值 X1X_1 ，并且 μ\mu 处在混沌范围中，当该函数迭代 n 次后，我们就能得到 X1,  X2,  ⋯ ,  XnX_1,\;X_2,\;\cdots,\;X_n ，这是一个一维混沌序列，也就是我们想要得到的序列。

然后将该序列进行归一化，也就是序列要处于 (0, 255) 之间，最后再将其 reshape 成和待加密图像矩阵大小一样的二维矩阵，这就是我们用于加密的密钥、记作 imgN，密钥由初始值 X1、μX_1、\mu 以及迭代次数 n 决定。

python代码示例如下：

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# 迭代n次，达到充分混沌状态
for i in range(n):
	x = u * x * (1 - x)

# 生成一维混沌加密序列
A = np.zeros(h * w, float)
A[0] = x
for i in range(h * w - 1):
	A[i+1] = u * A[i] * (1 - A[i])

# 归一化序列
B = np.array(A * 255, dtype="uint8")

# 转换为二维矩阵
imgN = B.reshape(h, w)

加解密

有了密钥 imgN，以及待加密图像矩阵 mat，这两个矩阵的大小是一样的，因此将它们直接进行异或就能够得到加密后的矩阵：

mat_encrypted=mat ⊕ imgNmat\_encrypted = mat\ \oplus\ imgN

如果加密的图像是彩色图像，那么就要将三个通道分开加密最后再合并起来，得到一个加密的彩色图像。

解密则是利用同一个密钥 imgN，同样将加密矩阵与密钥进行异或，就能够得到解密后的图像：

mat_decrypted=mat_encrypted ⊕ imgNmat\_decrypted = mat\_encrypted\ \oplus\ imgN

加密过程python代码示例如下：

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img = cv2.imread(image_path)
x = 0.1417265
u = 4
b, g, r = cv2.split(img)
B = imgN ^ b
G = imgN ^ g
R = imgN ^ r
merged = cv2.merge([B, G, R])

结果示例

运行程序后得到的结果如下：

Arnold变换置乱

该变换也称为 cat映射，公式表达式如下：

[xn+1yn+1]=[1baab+1][xnyn]  mod(N)\begin{bmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & b \\ a & ab+1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{bmatrix}\;mod(N)

a、b、N为正整数，a和b相当于密钥，N则是该方阵的长或宽，该置乱只讨论在图像长宽相等的前提下。

(xn,yn)(x_n,y_n)是原坐标，(xn+1,yn+1)(x_{n+1},y_{n+1})则是新坐标。

将矩阵展开后即可得到：

{xn+1=xn+b∗yn      (mod  N)yn+1=a∗xn+(ab+1)∗yn      (mod  N)\begin{cases}x_{n+1}=x_{n}+b*y_{n}\;\;\;(mod\;N) \\y_{n+1}=a*x_{n}+\left( ab+1\right)*y_n\;\;\;(mod\;N)\end{cases}

置乱的python代码示例：

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for j in range(N):
	for i in range(N):
		# 按照公式坐标变换
		xx = (i + b * j) % N
		yy = (a * i + j * (a * b + 1)) % N

置乱可以进行多次，以达到更加混乱的状态，值得注意的是，该置乱变换是有周期性的，当置乱达到一定次数会变回原图像，因此置乱次数并不是越多次越好。

有了该加密变换后，还需要逆变换，也就是求矩阵[1baab+1]\begin{bmatrix} 1 & b \\ a & ab+1 \end{bmatrix}的逆，逆变换公式如下：

[xnyn]=[ab+1−b−a1][xn+1yn+1]  mod(N)\begin{bmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ab+1 & -b \\ -a & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{bmatrix}\;mod(N)

通过该逆变换后即可得到原图像。

逆变换的python代码示例：

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for j in range(N):
	for i in range(N):
		# 按照公式坐标变换
        xx = ((a * b + 1) * i - b * j) % N
        yy = (-a * i + j) % N

结果示例：